Soluzione polinomiale del problema di cinematica diretta di un robot ad architettura parallela 6-PUS

I manipolatori a cinematica parallela offrono numerosi vantaggi rispetto alle cinematiche seriali a discapito di una maggiore complessità di calcolo che spesso conduce all’impossibilità di produrre soluzioni chiuse per la cinematica di posizione. Tuttavia l’impegno richiesto dalla ricerca di tali soluzioni è talvolta giustificabile dal loro possibile utilizzo nel controllo e nella simulazione del sistema meccanico. Nel presente lavoro viene affrontato il problema di cinematica diretta di una manipolatore a cinematica parallela di tipo 6-PUS. In passato molti lavori [1,2] sono stati focalizzati sul caso specifico della ben nota piattaforma di Gough-Stewart, la cui cinematica di posizione è stata risolta attraverso il metodo dell’eliminazione dialitica nel 1990 da Innocenti e Parenti-Castelli [1]: tale soluzione è stata ripresa e riadattata all’architettura parallela 6-PUS presentata in [3]. Il robot è in questo caso costituito da una piattaforma mobile collegata ad una base fissa attraverso 6 gambe connesse a telaio in punti distinti. Le 6 catene seriali PUS concorrono sul manipolatore in tre soli punti, luogo di posizionamento dei 3 giunti sferici. Questa caratteristica rende approcciabili le 6 catene seriali in maniera equivalente a tre gambe ciascuna delle quali costituita da una cinematica di tipo parallelo 2-PUS. Con l’intento di voler semplificare quanto più possibile la formalizzazione del problema, è stata sfruttata l’equivalenza cinematica sussistente tra il sotto-sistema 2-PUS e la gamba ad architettura seriale PRPS. Ciò ha permesso di affiancare alle equazioni di chiusura anche le equazioni vettoriali vincolanti la postura di ciascuna delle tre gambe, ottenendo così un sistema di equazioni la cui soluzione viene ridotta all’azzeramento di un polinomio univariante di grado 12 in una delle incognite del problema. Tale polinomio è costituito dal determinante della matrice di Sylvester del sistema di equazioni, il cui calcolo e annullamento [4] fornisce fino a 24 soluzioni del problema, corrispondenti ad altrettante plausibili pose della macchina. La memoria presenta alcuni esempi numerici con lo scopo di verificare e chiarire il metodo introdotto