Coupled longitudinal-transversal vibrations of nonlinear planar Timoshenko beams with an axial end spring

In the thesis, studies on nonlinear dynamics of a homogeneous and isotropic beam are performed. Partial differential equations of motion of a straight planar beam model are derived, taking into account extensibility and shearing effects, longitudinal, transverse and rotational inertia as well as different curvature definitions. For special boundary conditions (like hinged-simply supported beam with an axial spring) approximate method of multiple time-scales is implemented to catch various dynamic phenomena of the system, wherein free dynamics and forced-damped vibrations are represented by backbone curves and nonlinear frequency response curves, respectively. In the structure axial-transverse oscillations are coupled and the importance of combination of two modes, for instance in internal resonance, is shown. Analytical considerations are supported by numerical model elaborated in commercial software Abaqus_CAE. Initially, the linear behaviour of the beam model in frequency module is tested and then backbone curves and stable frequency response curves with use of transient dynamic explicit module are obtained. Time-dependent simulations with path-following and shooting methods are used and outcomes are compared with analytical results. Apart from sophisticated theoretical approaches, a basic validation tests on the Euler-Bernoulli beam prototype are done. Nonlinear dynamics of kinematically excited prototype with various boundary conditions in axial direction is executed experimentally. Hardening/softening phenomena and jumps between stable solutions are observed in analytical and numerical solutions, as well as in experiments. Study on nonlinear dynamics of a beam ends with conclusions and further developments are suggested.

Questa tesi di dottorato analizza la dinamica non lineare di una trave omogenea e isotropa. Sono state inizialmente ricavate le equazioni differenziali alle derivate parziali del moto per un modello di trave rettilinea nel caso piano, tenendo conto degli effetti dell’estensibilità, di taglio e dell’inerzia longitudinale, trasversale e rotazionale, e per diverse definizioni di curvatura. Per le particolari condizioni al contorno scelte (trave incernierata – semplicemente appoggiata con una molla assiale), è stato utilizzato il metodo alle scale temporali multiple (multiple time-scales) per cogliere i differenti fenomeni dinamici nel sistema, dove le vibrazioni dinamiche libere e forzate con smorzamento sono rappresentate rispettivamente da curve backbone e da curve non lineari di risposta in frequenza. In questo lavoro sono state accoppiate vibrazioni longitudinali e trasversali, mostrando ed analizzando l'importanza dell’interazione di due modi, ad esempio per fenomeni di risonanze interne. I risultati analitici sono state integrati con un modello numerico realizzato nel software commerciale Abaqus_CAE. Inizialmente, il comportamento lineare del modello della trave è stato esaminato nel modulo in frequenza e successivamente, utilizzando il modulo dinamico esplicito, sono state ottenute le curve backbone e le curve non lineari di risposta in frequenza stabili. Le simulazioni numeriche hanno usato i metodi di path-following e shooting. I risultati delle simulazioni sono stati confrontati con le soluzioni analitiche e dimostrano la conformità di entrambi i metodi. Oltre alle sofisticate analisi teoriche, sono stati effettuati alcuni test preliminari di laboratorio su un prototipo di trave di Eulero-Bernoulli al variare delle condizioni al contorno in direzione longitudinale. La dinamica della struttura reale è stata testata sperimentalmente forzando il sistema cinematicamente nella direzione trasversale con diverse ampiezze di eccitazione e condizioni al contorno. Sono stati osservati fenomeni di non linearità quali hardening e softening e salti tra soluzioni stabili. Tali effetti sono stati riscontrati sia negli studi analitici sia in quelli numerici, nonché negli esperimenti sul prototipo. Infine, il lavoro è completato dalle conclusioni e dai possibili sviluppi futuri del problema.