Analytically tractable stochastic volatility models in asset and option pricing

This dissertation consists of four related essays on stochastic volatility models in asset and option pricing. More precisely, this dissertation focuses on stochastic interest rate and multiscale stochastic volatility models, with applications in various financial products. In first essay, a hybrid Heston-CIR (HCIR) model with a stochastic interest rate process is presented. In this essay, explicit elementary formulas for the moments of the asset price variables as well as efficient formulas to approximate the option prices are deduced. Using European call and put option prices on U.S. S&P 500 index, empirical study shows that the HCIR model outperforms Heston model in interpreting and predicting both call and put option prices. The second essay is a further extension of the HCIR model with two different applications. The first application is using HCIR model to interpret bond yield term structure and to forecast their upward/downward trend. The second analysis is based on the values of the long-term health endowment policy. The empirical analysis shows that the stochastic interest rate plays a crucial role as a volatility factor and provides a multi-factor model that outperforms the Heston model in predicting health endowment policy price. In the third essay, a hybrid Heston Hull-White (HHW) model is designed to describe the dynamics of an asset price under stochastic volatility and interest rate that allows negative values. Explicit elementary formulas for the transition probability density function of the asset price variable and closed-form formulas to approximate the option prices are deduced. In first empirical analysis, the HHW model is calibrated by using implied volatility. The second empirical analysis focuses on the Eurodollar futures prices and the corresponding European options prices with a generalization of the Heston model in the stochastic interest rate framework. Both the results are impressive for approximation and prediction. This confirms the efficiency of HHW model and the necessary to allow for negative values of interest rate. The fourth essay describes a multiscale hybrid Heston model of the spot FX rate which is an extension of the model De Col, Gnoatto and Grasselli 2013 in order to allow stochastic interest rate. The analytical treatment of the model is described in detail both under physical measure and risk neutral measure. In particular, a formula for the transition probability density function is derived as a one dimensional integral of an elementary integral function which is used to price European Vanilla call and put options.

Questa tesi si compone di quattro saggi sui modelli stocastici di volatilità in asset e option pricing. Più precisamente, questa tesi si concentra sul tasso di interesse stocastico e sui modelli di volatilità stocastica multiscala, con applicazioni in vari prodotti finanziari. Nel primo saggio viene presentato un modello ibrido Heston-CIR (HCIR) con un tasso di interesse stocastico. In questo saggio, sono state dedotte formule elementari esplicite per i momenti relativi alle distribuzioni dei prezzi delle azioni, nonché formule efficaci per approssimare i prezzi delle opzioni. Utilizzando i prezzi di call e put options europei sul l'indice S&P 500 americano, questo studio empirico dimostra che il modello HCIR è migliore del modello di Heston nell'interpretazione e nella previsione dei prezzi di call e put options. Il secondo saggio è un ulteriore estensione del modello HCIR con due diverse applicazioni. La prima applicazione utilizza il modello HCIR per interpretare la struttura a termine dei rendimenti e per prevedere la loro tendenza al rialzo /ribasso. La seconda analisi è basata sui valori della “long-term health endowment policy”. L'analisi empirica mostra che il tasso di interesse stocastico gioca un ruolo cruciale come fattore di volatilità e fornisce un modello multi-fattore che supera il modello di Heston nel predire prezzo della polizza assicurativa sanitaria. Nel terzo saggio è stato proposto un modello ibrido di tipo Heston Hull-White (HHW) per descrivere le dinamiche di un prezzo di asset con volatilità e tasso di interesse stocastici che tiene conto di valori negativi. Nel lavoro sono state dedotte sia formule elementari esplicite per la funzione di densità di probabilità di transizione della variabile prezzi degli asset che formule in forma chiusa per stimare il prezzo delle opzioni. Nella prima analisi empirica è stato calibrato il modello HHW utilizzando la cosiddetta implied volatility. La seconda analisi empirica si concentra sui prezzi di futures Eurodollar e i corrispondenti prezzi delle opzioni europee con una generalizzazione del modello di Heston con tassi di interesse stocastici. I risultati relativi all’approssimazione e alla previsione sono molto interessanti. Ciò conferma l'efficienza del modello di HHW e la necessità di considerare possibili valori negativi di tasso di interesse. Il quarto saggio descrive un modello di Heston ibrido e multiscala per il tasso di cambio a pronti FX per poter considerare tassi di interesse stocastici. Il trattamento analitico del modello è descritto in dettaglio sia considerando delle misure legate alla fisica che misura di neutralità al rischio. In particolare, è stata derivata una formula per la funzione di densità di transizione di probabilità usando un integrale a una dimensione di una funzione integrale elementare che viene utilizzato per il prezzaggio delle opzioni call e put European Vanilla.