Piecewise Approximators for the Identification of Complex and Hybrid Dynamic Systems

This thesis addresses the challenging problem of identifying complex and hybrid dynamical systems, focusing on two distinct methodologies based on piecewise approximators tailored for systems with different levels of dimensional complexity. The first approach leverages a sparse symbolic regression framework, applied to hybrid dynamic systems with low dimension. This hybrid sparse identification method allows for the efficient reconstruction of governing equations and the identification of switches surfaces, making it well-suited for systems where the dynamics exhibit switches between regimes, such as in impact oscillators. This approach is particularly effective in scenarios with a limited number of variables, where interpretability and robustness are essential. The second approach introduces a Piecewise Artificial Neural Network (PWNN) architecture enhanced with a state space-based attention mechanism. This method is designed to handle and simplify the study of the global dynamics of highly dimensional systems, which involves the analysis of a number of initial conditions that grows exponentially with the dimension of the system. The novelty of the approach lies in its ability to learn directly from data both the descriptive model of system dynamics and the phase space partition, rather than relying only on physics knowledge. By partitioning the system’s phase space and dynamically weighting the contributions of subnetworks via the attention mechanism, the PWNN framework offers both predictive power and interpretability. This architecture proves to be particularly valuable for studying systems with complex behaviours, such as networks of Kuramoto oscillators, where the system can exhibit a wide range of attractors, e.g. synchronization, and desynchronization phenomena. The attention mechanism is shown to provide promising results by efficiently identifying key regions of the phase space, representative of specific dynamic regimes. This thesis demonstrates the efficacy of these two approaches through a series of numerical and experimental examples, providing insights into their application to both low-dimensional hybrid systems and complex high-dimensional networks.

Questa tesi affronta l'impegnativo problema dell'identificazione di sistemi dinamici complessi e ibridi, concentrandosi su due metodologie distinte basate su approssimazioni parziali adattate a sistemi con diversi livelli di complessità dimensionale. Il primo approccio sfrutta una struttura di regressione simbolica rada, applicata a sistemi dinamici ibridi a bassa dimensione. Questo metodo di identificazione ibrido sparso consente di ricostruire in modo efficiente le equazioni di governo e di identificare le superfici di commutazione, rendendolo adatto a sistemi in cui la dinamica presenta commutazioni tra regimi, come nel caso degli oscillatori a impatto. Questo approccio è particolarmente efficace in scenari con un numero limitato di variabili, dove interpretabilità e robustezza sono essenziali. Il secondo approccio introduce un'architettura di rete neurale artificiale Piecewise (PWNN) potenziata con un meccanismo di attenzione basato sullo spazio degli stati. Questo metodo è stato progettato per gestire e semplificare lo studio della dinamica globale di sistemi altamente dimensionali, che comporta l'analisi di un numero di condizioni iniziali che cresce esponenzialmente con la dimensione del sistema. La novità dell'approccio risiede nella capacità di apprendere direttamente dai dati sia il modello descrittivo della dinamica del sistema sia la partizione dello spazio delle fasi, anziché basarsi solo sulle conoscenze fisiche. Grazie alla partizione dello spazio di fase del sistema e alla ponderazione dinamica dei contributi delle sottoreti tramite il meccanismo di attenzione, il framework PWNN offre sia potere predittivo che interpretabilità. Questa architettura si rivela particolarmente preziosa per lo studio di sistemi con comportamenti complessi, come le reti di oscillatori di Kuramoto, dove il sistema può presentare un'ampia gamma di attrattori, ad esempio fenomeni di sincronizzazione e desincronizzazione. Il meccanismo dell'attenzione si dimostra in grado di fornire risultati promettenti, identificando in modo efficiente regioni chiave dello spazio delle fasi, rappresentative di specifici regimi dinamici. Questa tesi dimostra l'efficacia di questi due approcci attraverso una serie di esempi numerici e sperimentali, fornendo approfondimenti sulla loro applicazione sia a sistemi ibridi a bassa dimensione sia a reti complesse ad alta dimensione.