An efficient, explicit entropy-stable/conserving solver in a modal Discontinuos Galerkin numerical framework

This work presents a highly accurate entropy conserving/stable solver for the solution of the compressible Euler and Navier-Stokes equations. The method is built on top of a modal Dis- continuous Galerkin approximation and takes advantage of both entropy variables and the Direct Enforcement of Entropy Balance (DEEB) to discretely enforce entropy conservation. Thanks to the adoption of orthonormal basis functions, the embedding of the DEEB cor- rection within the considered DG numerical framework comes at a virtually null additional computational cost. For smooth problems, the DEEB provides an explicit correction that ensures the entropy-conserving character of the convective discrete operators; this is veri- fied regardless of the employed set of working variables, being these conservative, primitive, logarithmic or entropic. A significant improvement of the solver performances, however, is achieved when DEEB is coupled with a mixed formulation combining the conservative variables with a L2 “entropy projection”. In this case, the polynomial approximation of the rational entropy state is used to assemble the equations residuals, while retaining the non-stationary term in a conservative form. The resulting scheme shows a dramatic improve- ment in robustness over the direct use of the conservative variables, while maintaining also a marginal increase in the computational complexity of the baseline conservative algorithm for explicit time integrators. Convergence and conservation properties are demonstrated together with robustness and computational efficiency on a suite of two-dimensional inviscid test cases, showing that by coupling DEEB with entropy projection the solver robustness is improved while not affecting the stability limit. The devised method is then extended to consider also viscous flows, for which an evaluation of the entropy-stable character of the viscous fluxes discretization is also carried out by considering the viscous extension of some two-dimensional test cases. Finally, the scheme is tested against several three-dimensional benchmark cases, to prove its performances in handling scale resolving simulations in con- ditions of strong under-resolution.

Questo lavoro presenta un solutore ad alta precisione per la conservazione/stabilità dell'entropia per la soluzione delle equazioni compressibili di Eulero e di Navier-Stokes. Il metodo è costruito sulla base di un'approssimazione modale discontinua di Galerkin e sfrutta entrambe le variabili di entropia e l'applicazione diretta del bilanciamento dell'entropia (DEEB) per applicare discretamente la conservazione dell'entropia. Grazie al l'adozione di funzioni di base orto-normiche, l'incorporazione della correzione DEEB nel quadro numerico DG considerato comporta un costo computazionale aggiuntivo praticamente nullo. Per i problemi regolari, il DEEB fornisce una correzione esplicita che assicura il carattere di conservazione dell'entropia degli operatori discreti convettivi; ciò viene verificato indipendentemente dal l'insieme delle variabili di lavoro impiegate, essendo queste conservative, primitive, logaritmiche o entropiche. Un miglioramento significativo delle prestazioni del risolutore, tuttavia, si ottiene quando DEEB è accoppiato con una formulazione mista che combina le variabili conservatrici con una "proiezione di entropia" L2. In questo caso, l'approssimazione polinomiale dello stato di entropia razionale viene utilizzata per assemblare i residui delle equazioni, pur mantenendo il termine non stazionario in una forma conservativa. Lo schema risultante mostra un netto miglioramento della robustezza rispetto al l'uso diretto delle variabili conservative, pur mantenendo anche un aumento marginale della complessità computazionale dell'algoritmo di base conservativo per gli integratori espliciti del tempo. Le proprietà di convergenza e conservazione sono dimostrate insieme alla robustezza e all'efficienza computazionale su una serie di casi di prova bidimensionali non viscosi; dimostrando che accoppiando DEEB con proiezione di entropia si migliora la robustezza del risolutore senza influire sul limite di stabilità. Il metodo sviluppato viene poi esteso a considerare anche i flussi viscosi, per i quali una valutazione del carattere di stabilità dell'entropia della discretizzazione dei flussi viscosi viene effettuata anche considerando l'estensione viscosa di alcuni casi di prova bidimensionali. Infine, lo schema è testato su diversi sistemi tridimensionali casi di riferimento, per dimostrare le sue prestazioni nella gestione delle simulazioni di risoluzione in scala in condizioni di forte sottorisoluzione.