Modelling a Shoal of Marine Biomimetic Vehicles: a Max-Plus Algebra Approach

This thesis introduces a novel approach to model the coordinated behaviour of fish robots for underwater exploration. A shoal of three biomimetic vehicles is here considered, each one with distinct capabilities, to survey an area via predefined paths covering certain Points of Interest in a cyclical manner. Hence, this formulation involves diversified and repetitive tasks for each robot. The starting point is the knowledge of the practical context of marine vehicles, their technologies, and the theoretical foundations of their mathematical models. Within the theoretical framework, max-plus algebra emerges as a fundamental tool to manage tasks concatenation and synchronization, and thus to effectively model such coordinated activities during patrols. Among the theoretical basis, the notion of causal controlled invariance for max-plus linear systems is also explored, introducing a new algorithm, based on the concept of causal projection, to verify the sufficient conditions for a module to satisfy this property. In other words, it is thus possible to check whether there is a causal state feedback that makes a module invariant for the closed-loop system. Through a series of calculations, the representation of the plant as a max-plus linear system is then obtained, where all variables are based on task-driven rather than time-driven requirements. This approach also leads to the formalization of this synchronised patrol problem, defined as "Model Matching Problem (MMP)". An MMP consists in finding a suitable control law, that forces the obtained plant to behave in accordance with a preestablished model. In this way, the fish robots of the shoal can perform their repetitive tasks according to a predefined strategy. The model is tested in simulation and examples of the resolution of an MMP are given. Finally, the module resulting from the solution of the MMP is tested with the developed algorithm to determine whether it is causal controlled invariant.

Questa tesi introduce un nuovo approccio alla modellazione del comportamento coordinato di pesci robot per l'esplorazione subacquea. Si considera un branco di tre veicoli biomimetici, ognuno con capacità distinte, per ispezionare un'area con percorsi predefiniti che coprono dei punti di interesse in modo ciclico. Questa formulazione prevede quindi compiti diversificati e ripetitivi per ciascun robot. Il punto di partenza è la conoscenza del contesto pratico dei veicoli marini, delle loro tecnologie e delle basi teoriche dei loro modelli matematici. All'interno del quadro teorico, l'algebra max-plus emerge come strumento fondamentale per gestire la concatenazione e la sincronizzazione dei compiti e dunque per modellare efficacemente tali attività coordinate durante il pattugliamento. Tra le basi teoriche, si esplora anche la nozione di invarianza causale controllata per sistemi lineari max-plus, introducendo un nuovo algoritmo, basato sul concetto di proiezione causale, per verificare le condizioni sufficienti affinché un modulo soddisfi tale proprietà. In altre parole, è così possibile verificare se esiste una retroazione dello stato causale che renda un modulo invariante per il sistema ad anello chiuso. Tramite una serie di calcoli, si ottiene la rappresentazione del sistema come sistema lineare max-plus, in cui tutte le variabili sono basate su requisiti guidati dai tasks piuttosto che dal tempo. Tale approccio porta anche alla formalizzazione di questo problema di pattugliamento sincronizzato come "Model Matching Problem (MMP)". Un MMP consiste nel trovare una legge di controllo che forzi il sistema a comportarsi secondo un modello prestabilito. In questo modo, i pesci robot possono eseguire i loro compiti secondo una determinata strategia. Il modello è testato in simulazione seguito da esempi di risoluzione di MMP. Infine, è testato anche il modulo risultante dalla soluzione del MMP per determinare con l'algoritmo sviluppato se è invariante causale controllato.