A Structural Geometric Approach to the Model Matching Problem for Max-Plus Linear Systems

The max-plus algebra can be used to model discrete event dynamic systems where synchronization is involved, by means of linear dynamic equations. A limitation in the modeling power of conventional max-plus linear systems is the lack of competition. This issue can be partly circumvented by considering non-stationary max-plus linear systems. The structural geometric approach is an area of systems and control theory in which various properties of the dynamical systems under study are expressed in terms of geometric properties of suitable vector spaces. A wide literature is available on the topic for systems over the conventional algebra, but only a few papers are available for system over the max-plus semiring. The objective of our work is to extend the available applications of the structural geometric approach to linear systems defined over the max-plus algebra. We provide a new formulation for the model matching problem for stationary linear systems over the max-plus algebra and use the available results on the geometric approach for such class of systems to provide solvability conditions and algorithmic solutions to such problem. Our formulation of the problem closely mimics the classical one used in the framework of the conventional algebra, as the objective is to match exactly a given model with the output of the plant. Moreover, we extend the structural geometric approach to switching and periodic max-plus systems and use the new theory for solving the model matching problem also for systems of these kinds. The solvability conditions and the algorithmic solutions obtained suffer from some issues that are not present in the case of systems over the conventional algebra, so they can be only applied under suitable hypotheses.

L'algebra max-plus può essere utilizzata per modellare sistemi dinamici ad eventi discreti con fenomeni di sincronizzazione tra processi, tramite equazioni dinamiche lineari. Una limitazione nella capacità espressiva dei sistemi lineari convenzionali nella max-plus algebra è l'assenza di competizione. Questa problematica può essere in parte risolta ricorrendo a sistemi non stazionari. L'approccio geometrico strutturale è un'area della teoria dei sistemi e del controllo che permette di esprimere differenti proprietà dei sistemi dinamici oggetto di studio, in termini di proprietà geometriche di particolari spazi vettoriali. Un'ampia letteratura sull'approccio geometrico è disponibile per sistemi definiti nell'algebra convenzionale, ma solo pochi risultati sono stati pubblicati per quanto riguarda i sistemi definiti sul semianello max-plus. L'obiettivo del nostro lavoro è di estendere le applicazioni dell'approccio geometrico strutturale nell'ambito dei sistemi max-plus lineari. Introduciamo una formulazione del problema di inseguimento del modello per sistemi max-plus lineari stazionari ed utilizziamo i risultati disponibili relativi all'approccio geometrico per fornire condizioni di risolubilità e soluzioni algoritmiche al problema. La nostra formulazione del problema è una generalizzazione diretta di quella classica, utilizzata nell'ambito dell'algebra convenzionale. L'obiettivo è inseguire esattamente un dato modello con l'uscita dell'impianto. Inoltre, estendiamo l'approccio geometrico strutturale a sistemi max-plus switching e periodici e utilizziamo la nuova teoria per risolvere il problema di inseguimento del modello anche per sistemi di queste tipologie. Le condizioni di risolubilità e le soluzioni algoritmiche che otteniamo soffrono di alcune problematiche aggiuntive rispetto al caso di sistemi costruiti nell'algebra convenzionale, che le rendono applicabili solo in casi determinati.